双曲型方程式の解の漸近安定性と非線形発展方程式への応用

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伝播速度が時間によって変化する波動方程式の初期値問題の解のエネルギー安定性について:伝播速度が一定の場合には、波動方程式の解のエネルギーが保存される「エネルギー保存則」が成り立つ。しかし、時間に依存する伝播速度は、エネルギーを変動させる効果を持ため、一般にエネルギー保存則は期待できない。そこで、エネルギーが退化せず、かつ有界にとどまる、という意味でのエネルギーの安定性を記述する「一般化されたエネルギー保存則」の概念を導入し、この性質が成り立つための係数の性質について、特に、係数の波動と滑らかさの影響に注目して研究を行った。これまでの研究によって、滑らかさの低い係数が、解のエネルギー安定性に与える悪い影響は比較的よくわかっていたが。しかし、C^2を上回る滑らかさを持った係数が、解の安定性に寄与するという研究結果は知られていなかった。本研究では、係数の性質を「微分可能なオーダー」、「高階導関数のオーダー」、stabilization propertyとよばれる「積分によって記述される係数の振幅の安定性のオーダー」という三つのパラメーターで記述し、一般化されたエネルギー保存則が成り立つためのこれらの関数を導いた。またその関数の最適化を、具体的な反例を構成することによって証明した。これによって、係数の微分可能性のオーダーが、解の安定性に連続的に寄与することが証明された。また、時間に依存する消散項を持った消散型波動方程式において、消散係数の波動と滑らかさが、エネルギーの減衰オーダーに与える影響についても研究を行った。