Forcing axioms and their preservation under forcing

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固有強制法公理(PFA)やマーティンの極大公理(MM)は、強制公理と呼ばれる集合論の公理の一種であり、連続体の濃度がアレフ2であることなど多くの帰結をもたらすことから集合論における重要な研究対象である。本研究の目的は、これらの強制公理たちが、どのような半順序集合による強制拡大の下でどの程度保存されるかを体系的に明らかにすることである。これまでに、PFAを強制法によって保存する半順序集合の性質として「戦術的」「作戦的」「*-戦術的」「*-作戦的」などを、さらにそれより広くPFAの一部を保存する強制概念の性質として「**-戦術的」「**-作戦的」などの性質を比較検討してきた。今年度の研究は肯定的な成果にはやや乏しい。前年度の研究で、「**-作戦的閉」な半順序集合に対するω2-マーティンの公理が、「**-戦術的閉」な半順序集合に対する同様の公理と同値であることを示したが、この手法を用いると、以前から未解決であった、「*-戦術的閉な半順序集合と作戦的閉な半順序集合に対するω2-マーティンの公理は、*-作戦的閉な半順序集合に対するω2-マーティンの公理を導くか？」という問題を肯定的に解決できることが予想されたので、今年度はこの問題に取り組んだ。その結果、この手法そのままでは、上記の問題を解決することができないことがわかった。ただ、この困難さは、上記の問題が否定的である可能性も示唆しており、それはそれで興味深い現象であるとも考えられる。