geometric analysis of geometric flows

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今年度はこれまで引き続き行ってきたGeneralized Ricci flowに関する研究およびG2-Laplacian flowと呼ばれる幾何学的流の研究を行った。研究成果は以下のように要約される。（1）Generalized Ricci flowに対するBackward generalized reduced volumeの理論の基礎の再考察の過程で、その定義に必要な解空間上の距離の概念をある意味で捻ることにより、理論の全体的な見通しが良くなることに気がついた。この視点は、他の幾何学的流に対しても有効と考えられ、一般的な設定の下で理論設定を行うための基礎的な考察を行った。（2）G2-Laplacian flowは7次元多様体上の幾何学的流であり、G2構造の存在問題に著しい応用があることが期待されている。Ricci flowの場合に証明されていたlogarithmic Sobolev不等式および熱核の評価に関する一連の結果を、G2-Laplacian flowの場合に拡張した。特に、G2-Laplacian flowに沿ったlogarithmic Sobolev不等式の応用として、Ricci flowの場合でも特に重要であったuniform Sobolev不等式と呼ばれる、Sobolev定数がflowに沿って一様であるようなSobolev不等式を、スカラー曲率の有界性の下、G2-Laplacian flowに対して証明した。このuniform Sobolev不等式の系として、G2-Laplacian flowに対する非局所崩壊定理が従う。さらにその証明方法は他の幾つかの幾何学的流にも適応可能であり、特にGeneralized Ricci flowに対しても、ある種の曲率に関する条件の下、同様の結果を得ることができた。