四元数多様体の複素部分多様体論の展開

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四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関わり、次の２つについて研究を進め、結果を得た：1.実グラスマン多様体の全複素部分多様体のツイスター空間へのリフトであるルジャンドル部分多様体に関するLie 球面幾何学の複素化の視点からの基礎理論を進展させた。2.四元数双曲空間の等質全複素部分多様体を決定した。１について： n次元実ベクトル空間 R^n の向き付けられた4次元部分空間のなすグラスマン多様体 Gr_4(R^n)は四元数ケーラー対称空間になる。ｎ次元複素ベクトル空間 C^n の複素2次元部分空間で標準的な複素内積を制限したとき零となるもの全体 H_2(C^n)は(複素) 2n-7 次元複素多様体となり、正則接触構造が自然に定まる。H_2(C^n)からGr_4(R^n)へ自然な射影が定義され、これがGr_4(R^n)の四元数ケーラー構造に関するツイスターファイブレーションになる。この結果から、Gr_4(R^n)の（半分次元）全複素部分多様体の研究がH_2(C^n)のルジャンドル部分多様体の研究に帰着されることが分かる。H_2(C^n)のルジャンドル部分多様体について、Lie 球面幾何学の複素化の視点から研究し、次のような成果を得た。これまでの研究で、ルジャンドル部分多様体の重要な不変量である曲率球の概念を導入した。曲率球に加え、実Lie 球面幾何学の場合と同様、Lie 曲率の概念を導入できることが分かった。今後の研究で、Lie 曲率の性質に着目したルジャンドル部分多様体の特徴付けに関する結果を得たい。また、該当する点を通るLie超球面（複素2次超曲面）すべてが曲率球となる典型例についてそれを特徴付ける結果を得た。2について：四元数双曲空間の半分次元等質全複素部分多様体は全測地的複素双曲空間に限られることを示した。