層的バナッハ代数を用いたサイクルによる特異ホモロジー論

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前回報告時点での定式化における解析的特異ホモロジーの性質を調べた結果、想定よりサイクルの種類が少ないことが分かった。そのため、前回の報告で述べたように完備群環を用いた余単体的対称による定式化から微調整を行った。具体的には完備群環からの標準的な射の像の閉包による余単体的対象を定式化に用いることでサイクルの種類の少なさを解消した。定式化の変更にはsheafy性の再確認が必要だが、像の閉包のsheafy性は終域のuniform性を用いて先行研究に抽象的に帰着させることが可能であり、また別の完備群環との同型を取ることもできたのでそれにより具体的に示すこともできた。特に後者の帰着により、前回導入した完備群環のsheafy性を活用できるため前回からの定式化の微調整があまり大きな問題とならない。また新たな定式化において、sheafy性だけでなくWeierstrass領域の具体的な記述も行った。これによりサイクルの計算が比較的しやすくなる。具体的にはサイクルの計算のためには空間をアフィノイドに分割してそこへの射を局所的に考えることになるが、Weierstrass領域の具体的な記述は局所的な計算を飛躍的に簡単にしてくれる。現在注目している点は、p進周期環そのものより大きな環を導入して積分値を定式化すべきか否かである。p進周期環そのものはBanachな対象でないため、大きな環に変更してBanach性を担保することは議論をシンプルにしやすい利点がある一方、興味が強いのがp進周期環そのものであるため最終的にはそこからp進周期環への自然な射を合成して考える必要がある。