非アルキメデス的解析空間の特異ホモロジー論および積分論

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非アルキメデス的解析空間の特異ホモロジー論と積分論について研究した。その過程において、交付申請書にて示唆したようにp進Banach解析やp進表現論を細かく掘り下げることで諸理論の精緻化を目指した。具体的にはまずp進Banach代数のBerkovichスペクトルを計算することで位相空間の普遍的なcompact化の1つであるBanachewskiコンパクト化の新たな関手的構成を与え、その応用として準同型の自動連続性に関するKaplanski予想の弱予想のp進化を証明し、位相空間のp進解析的なGel'fand理論やbase change理論を完成させた。これらを用い、ZFC公理系から独立な命題をp進解析の文脈で得た。p進表現論に対しては、まずp進Banach空間に作用する1つの作用素のスペクトル理論を考察した。これによりp進行列の対角化可能性問題に対する有限的アルゴリズムを還元の反復により構築した。この結果は後に自身により拡張され、最終的には一般の位相モノイドのp進表現の半単純性を判定するアルゴリズムに昇華した。また位相空間論とp進表現論を結びつける1つの試みとして、副有限群に対するSchneider--Teitelbaum理論を正規測度論的アプローチにより局所副有限群に拡張することに成功した。これによりp進Banach表現の連続inductionをコンパクトハウスドルフ平坦線形位相加群の言葉に翻訳した。この延長線上に可換副有限群と可換離散群の間の双対性のズレを見出し、具体的に可換形式群のAmice変換を用いて可換離散群の双対として可換副有限群が現れないというp進特有の現象を観察した。このことはp進における作用素環的量子群論の可能性を示唆するものであり、そこに将来的な研究対象をいくつか見出している。以上により非アルキメデス的解析空間の特異ホモロジー論と積分論の精緻化に向けた土台を完成させることができたので、最後にSchlozeのperfetoid理論に関連する一様代数のTate acyclicityについての4つのopen questionをほぼ解き、ホモロジー理論で最も困難を極めた空間の貼り合わせ問題をおおよそ抜本的に解析することができた。将来的にはperfectoidを用いたホモロジーの再定式化も可能であると予想している。