ｐ進表現の局所凸解析

最も簡単なp進量子群として、副有限群と離散群に付随する可換または余可換p進量子群の構造はp進連続関数環と岩澤代数を用いて具体的に記述され、また形式群GL2やSL2に付随するp進量子群はその極大torusに付随するp進量子群であるweight空間上のp進連続関数環を含む代数として、差分作用素やLie環の普遍包絡環を用いて具体的に記述された。より一般のsmoothな表示を持つ形式群に対してもそれに付随するp進量子群とLie環の普遍包絡環との間に非自明な完備化の関係を見出し、それがLazardやArdakovによって研究されていたaffinoid包絡環としての完備化とは別物であることも確認した。具体的にはaffinoid包絡環が形式群の有理点のなす位相群としての構造しか反映させないことに対し、新たに見つけた完備化は形式群の関手構造そのものも反映した情報を持ち、それによって正則表現の分解が完全に決定され、特に既約表現をrigid解析的に補間するp進族が与えられることを示した。特に極大torusへの制限は非Archimedes的Gel'fand-Naimark理論と整合的であり既存の非Archimedes的Fourier変換であるAmice変換の拡張的表示を持つことも確かめられた。更にGroebner基底を用いたLie環の普遍崩落環のidealのparameter付けを完備化したもの用いることで、既約表現のparameter付けを具体的に計算することでその行列要素の合同関係式を得、対応するmodular curve上のprofinite etale層のetale cohomologyを用いることで、保型形式とGalois表現の間の対応の従来のp進解析的延長を説明する幾何的な背景を捉えることに成功した。

最も簡単なp進量子群として、副有限群と離散群に付随する可換または余可換p進量子群の構造はp進連続関数環と岩澤代数を用いて具体的に記述され、また形式群GL2やSL2に付随するp進量子群はその極大torusに付随するp進量子群であるweight空間上のp進連続関数環を含む代数として、差分作用素やLie環の普遍包絡環を用いて具体的に記述された。より一般のsmoothな表示を持つ形式群に対してもそれに付随するp進量子群とLie環の普遍包絡環との間に非自明な完備化の関係を見出し、それがLazardやArdakovによって研究されていたaffinoid包絡環としての完備化とは別物であることも確認した。具体的にはaffinoid包絡環が形式群の有理点のなす位相群としての構造しか反映させないことに対し、新たに見つけた完備化は形式群の関手構造そのものも反映した情報を持ち、それによって正則表現の分解が完全に決定され、特に既約表現をrigid解析的に補間するp進族が与えられることを示した。特に極大torusへの制限は非Archimedes的Gel'fand-Naimark理論と整合的であり既存の非Archimedes的Fourier変換であるAmice変換の拡張的表示を持つことも確かめられた。更にGroebner基底を用いたLie環の普遍崩落環のidealのparameter付けを完備化したもの用いることで、既約表現のparameter付けを具体的に計算することでその行列要素の合同関係式を得、対応するmodular curve上のprofinite etale層のetale cohomologyを用いることで、保型形式とGalois表現の間の対応の従来のp進解析的延長を説明する幾何的な背景を捉えることに成功した。