工学的アイデアを用いた調和解析学における未解決問題へのアプローチ

本研究の前段階として、我々が得ていた結果は次のようなものである。すなわちn=2次元で、曲面（曲線）が円周という特別な場合に、それに付随するFourier extension operatorに対するMizohata--Takeuchi予想を、Sobolevの埋め込みの意味で弱めた場合に、自明なregularityでの評価式(s=1)から、非自明な改良(s=1/2)ができるというものである。Mizohata--Takeuchi予想（s=0）自身が任意の次元で未解決問題であるため、この円周という特別な場合だけを取ってみても、大きな進展であった。今年度は、この円周に対するs=1/2のSobolev型Mizohata--Takeuchi予想の高次元及び幾何学的一般化を行い、空間が偶数次元という制限はあるが、幾何学的意味をもつ適切な条件により、部分的な一般化に成功した。合わせて、Flow monotonicityの手法を洗練させることで、Ornstein--Uhlenbeck semigroupのhypercontractivity不等式の解析を進めた。特に本研究によってこれまで知られていなかった、hypercontractivity不等式と凸幾何学における未解決問題との関連が明らかになった。

本研究の前段階として、我々が得ていた結果は次のようなものである。すなわちn=2次元で、曲面（曲線）が円周という特別な場合に、それに付随するFourier extension operatorに対するMizohata--Takeuchi予想を、Sobolevの埋め込みの意味で弱めた場合に、自明なregularityでの評価式(s=1)から、非自明な改良(s=1/2)ができるというものである。Mizohata--Takeuchi予想（s=0）自身が任意の次元で未解決問題であるため、この円周という特別な場合だけを取ってみても、大きな進展であった。今年度は、この円周に対するs=1/2のSobolev型Mizohata--Takeuchi予想の高次元及び幾何学的一般化を行い、空間が偶数次元という制限はあるが、幾何学的意味をもつ適切な条件により、部分的な一般化に成功した。合わせて、Flow monotonicityの手法を洗練させることで、Ornstein--Uhlenbeck semigroupのhypercontractivity不等式の解析を進めた。特に本研究によってこれまで知られていなかった、hypercontractivity不等式と凸幾何学における未解決問題との関連が明らかになった。