関数空間論的アプローチによる調和解析学の未解決問題の研究

使用泛函空间理论方法研究调和分析中未解决的问题

• 批准号: 20J00090
• 负责人: 中村 昌平
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J00090/
• 关键词: 拡散方程式の平滑化効果; 関数不等式の正則化

今年度は，熱方程式あるいはより一般に拡散方程式の平滑化効果がどのように種々の関数不等式を改良するかを明らかにする研究を行なった．特にBarthe-Wolffによって証明されたInverse Brascamp-Lieb不等式を，熱流単調性の手法を用いることによって正則化した形で証明することに成功した．通常の熱流単調性の手法を用いる際には，一般のBrascamp-Liebデータをlocaling Brascamp-Liebデータで近似することにより問題を簡略化する．ところが，本研究でInverse Brascamp-Lieb不等式を解析する際には，このlocalising Brascamp-Liebデータによる近似ができないという問題点があった．この問題点に対し，我々はamplifying Brascampl-Liebデータという概念を見出し，このamplifying Brascampl-Liebデータによる近似手法を用いることで，問題を解決した．また，その結果Youngの不等式，Prekopa-Leindlerの不等式，Ornstein-Uhlenbeck半群のhypercontractivity不等式をそれぞれ正則化した形で得るに至った．ついで，この関連から対数型ソボレフ不等式を拡散方程式により正則化することに成功した．これら一連の結果により，上述の「拡散方程式の平滑化効果により関数不等式を改良する」というアイデアを幾何学的な定式化のもとへ一般化する研究の手がかりを得た．

今年，我们进行了研究，以阐明热方程或更通常扩散方程的平滑效应如何改善各种功能不平等。特别是，我们成功地证明了Barthe-Wolff通过使用热流单调技术以正规化的方式证明了Brascamp-Lieb倒数不平等。当使用正常的热流单调技术时，通过使用局部Brascamp-Lieb数据近似一般的Brascamp-Lieb数据来简化该问题。但是，在分析这项研究中的Brascamp-Lieb逆不平等现象时，存在一个问题，即无法使用局部化的Brascamp-Lieb数据近似。为了解决这个问题，我们发现了扩增Brascampl-lieb数据的概念，并通过使用扩增Brascampl-lieb数据的近似方法解决了该问题。此外，我们获得了年轻人的不平等，prekopa-leindler的不平等以及以正规化形式的Ornstein-Uhlenbeck Semigroups的超额收缩不平等。此外，从这种关系中，我们成功地使用扩散方程式将对数Sobolev不等式正规化。这些结果为研究提供了线索，以推广上述“通过扩散方程的平滑效果改善功能不平等的想法”。

项目成果

Strichartz estimates for orthonormal families of initial data and weighted oscillatory integral estimates

• DOI: 10.1017/fms.2020.64
• 发表时间: 2019-10
• 期刊: Forum of Mathematics, Sigma
• 作者: N. Bez;Sanghyuk Lee;Shohei Nakamura

Maximal estimates for the Schr\"odinger equation with orthonormal initial data

具有正交初始数据的 Schr"odinger 方程的最大估计

• DOI: 10.1007/s00029-020-00582-6
• 发表时间: 2020
• 期刊: Selecta Mathematica
• 作者: Bez Neal;Lee Sanghyuk;Nakamura Shohei
• 通讯作者: Nakamura Shohei