関数空間論的アプローチによる調和解析学の未解決問題の研究

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今年度は，熱方程式あるいはより一般に拡散方程式の平滑化効果がどのように種々の関数不等式を改良するかを明らかにする研究を行なった．特にBarthe-Wolffによって証明されたInverse Brascamp-Lieb不等式を，熱流単調性の手法を用いることによって正則化した形で証明することに成功した．通常の熱流単調性の手法を用いる際には，一般のBrascamp-Liebデータをlocaling Brascamp-Liebデータで近似することにより問題を簡略化する．ところが，本研究でInverse Brascamp-Lieb不等式を解析する際には，このlocalising Brascamp-Liebデータによる近似ができないという問題点があった．この問題点に対し，我々はamplifying Brascampl-Liebデータという概念を見出し，このamplifying Brascampl-Liebデータによる近似手法を用いることで，問題を解決した．また，その結果Youngの不等式，Prekopa-Leindlerの不等式，Ornstein-Uhlenbeck半群のhypercontractivity不等式をそれぞれ正則化した形で得るに至った．ついで，この関連から対数型ソボレフ不等式を拡散方程式により正則化することに成功した．これら一連の結果により，上述の「拡散方程式の平滑化効果により関数不等式を改良する」というアイデアを幾何学的な定式化のもとへ一般化する研究の手がかりを得た．