臨界型非線形楕円型方程式における解の集中現象の研究-余質量を伴う集中-

当該年度までの研究では主に方程式が指数型「臨界」非線形項を持つ場合の球対称「符号変化」解の集中挙動に研究対象を限っていた。しかし，指数型非線形項を持つ楕円型方程式においては臨界に限らず，超臨界の場合でも解の集中挙動が生じることが見込まれる。さらには非線形項の増大度の違いにより，それぞれの状況で相異なる挙動が観察されることも期待できるため興味深い。そこで，当該年度より，本研究課題の研究対象を広げ，臨界および超臨界型の非線形項を持つそれぞれの場合について，正値解及び符号変化解それぞれの余質量を伴う集中現象の解析を行うこととした。特に当該年度は，臨界および超臨界を網羅する一般の増大度を持つ方程式の球対称正値解の集中挙動の解析を行った。この結果，非線形項の増大度によらず，集中部分の周辺の挙動は，Liouville方程式と呼ばれる全空間方程式の古典解によって特徴づけられることが分かった。ここで，これまでの研究では，典型的な摂動項を持つ臨界型の方程式の球対称正値解においては集中部分の周辺の挙動が本質的であり，上述の全空間方程式の解の情報を用いて解の大域的な漸近公式を導出することができることが分かっている。さらに，前述の状況では当該研究課題の余質量を伴う集中現象は生じないことも知られている。これに対し，当該年度の研究で，ある種の強い摂動項を持つ臨界の場合や超臨界の場合には，これらとは異なる現象が生じる可能性を示唆する評価が得られた。現在は，これらの興味深い場合について更なる解析を進めている。

当該年度までの研究では主に方程式が指数型「臨界」非線形項を持つ場合の球対称「符号変化」解の集中挙動に研究対象を限っていた。しかし，指数型非線形項を持つ楕円型方程式においては臨界に限らず，超臨界の場合でも解の集中挙動が生じることが見込まれる。さらには非線形項の増大度の違いにより，それぞれの状況で相異なる挙動が観察されることも期待できるため興味深い。そこで，当該年度より，本研究課題の研究対象を広げ，臨界および超臨界型の非線形項を持つそれぞれの場合について，正値解及び符号変化解それぞれの余質量を伴う集中現象の解析を行うこととした。特に当該年度は，臨界および超臨界を網羅する一般の増大度を持つ方程式の球対称正値解の集中挙動の解析を行った。この結果，非線形項の増大度によらず，集中部分の周辺の挙動は，Liouville方程式と呼ばれる全空間方程式の古典解によって特徴づけられることが分かった。ここで，これまでの研究では，典型的な摂動項を持つ臨界型の方程式の球対称正値解においては集中部分の周辺の挙動が本質的であり，上述の全空間方程式の解の情報を用いて解の大域的な漸近公式を導出することができることが分かっている。さらに，前述の状況では当該研究課題の余質量を伴う集中現象は生じないことも知られている。これに対し，当該年度の研究で，ある種の強い摂動項を持つ臨界の場合や超臨界の場合には，これらとは異なる現象が生じる可能性を示唆する評価が得られた。現在は，これらの興味深い場合について更なる解析を進めている。