Trudinger-Moser型臨界非線形楕円型方程式の符号変化解の漸近挙動

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これまでの研究では指数型臨界非線形項を持つ楕円型方程式の球対称符号変化解の集中現象についての解析を進め，種々の結果を得てきた。当該年度の研究でその発展的研究を進めていく中で，劣臨界型の方程式の球対称符号変化解には臨界型とは異なる集中挙動が現れるのではないかという着想を得た。そこで当該年度は主にこのことについて解析を行った。このために，まずは符号変化解の正値部分の集中挙動について，指数型方程式の持つスケーリング則に基づいた爆発解析を行った。結果として，正値部分の集中の形状はLiouville方程式と呼ばれる全空間方程式の古典解により特徴づけられることが分かった。さらに，この特徴づけを用いて，集中のエネルギー，大域的漸近挙動，および爆発（最大値の無限大への発散）のスピードに関する公式を導出することができた。これにより，劣臨界の場合の解の爆発のスピードは臨界の場合のそれとは明確に異なることが分かった。これまでの臨界型についての解析と同様に劣臨界型の方程式においても符号変化解の負の部分の集中挙動の解析には，正の部分の爆発のスピードに関する公式が重要な役割を担うことが期待される。従って，当該年度に得られた結果から，符号変化解の負の部分の集中挙動には臨界型のそれとは定性的あるいは定量的に異なる挙動がみられることが期待される。現在のところ，当該年度に得られた結果をもとに，符号変化解の負の部分の解析を進めている。