Studies on extreme value theory for strongly correlated random fields

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2次元離散トーラス上の単純ランダムウォークを被覆時間(単純ランダムウォークがトーラスのすべての点を訪問し尽くすまでの時間)の定数倍時刻まで走らせたとき，単純ランダムウォークがまだ訪問していない点(late point)はクラスターを形成する, つまりlate pointのまわりには他のlate pointが比較的多く存在することが知られている(Dembo-Peres-Rosen-Zeitouni '06, 岡田 '19) ．このlate pointまわりの様子を調べる1つの方法として，2次元random interlacementsと呼ばれる確率モデルが 導入された(Comets-Popov-Vachkovskaia '16) ．このモデルは，原点に到達しないように条件づけられた多数の2次元格子上の単純ランダムウォークの軌跡を用いて構成される．Comets氏らは実際, 原点がlate pointであるという条件付けのもとでのlate pointの集合の法則は2次元random interlacementsの補集合の法則で近似できることを示した．本研究では, Comets氏らの結果をより強め,late pointの集合を2次元random interlacementsの補集合で近似できるようなカップリングを構成できることを証明した. 証明の鍵となるのはsoft local timeの方法(Popov-Teixeira '15)である.このカップリングにより, 比較的扱いやすい2次元random interlacementsの性質を調べることで, 比較的扱いづらいlate pointの集合を解析できることが期待される.本研究結果に関する論文を執筆中である. また, 確率論セミナーにおいて本研究に関する口頭発表を行った.