確率微分方程式の離散近似理論とその応用

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平成25年度はいくつかの確率微分方程式の近似理論問題について並列に取り組んだ。以下で順に説明する。主たる研究として、非線形フィルタリングの離散近似問題に興味を持ち、理論的な解析に取り組んだ。この問題は直接観測不能なシグナル過程と観測可能な観測過程が共に確率微分方程式で与えられた時の条件付き平均を離散近似することを目標とし、SPDE(確率偏微分方程式)の近似問題と深い関わりを持つ。この問題を解決するために、前年度までにSPDEやBSDE(後退確率微分方程式)の近似誤差解析の道具として研究を進めていた双対アプローチと呼ばれる手法を活用した。双対アプローチは、確率微分方程式の離散近似の分野において、マルコフ性をうまく使えない場面で有力な解析手法とされるものである。前年度までの研究で、どのような場合に双対アプローチが機能するかの理解が深まったため、双対アプローチで用いられる評価手法が非線形フィルタリングの近似誤差評価問題と関係が深いことに気付くことができた。最終的には、Jean Picard氏が1984年に証明した離散近似誤差評価に関する結果の双対アプローチによる別証明を与えることに成功し、さらに深い解析によってその結果を拡張することができた。本研究成果は論文としてまとめ、現在投稿準備中である。次に、前年度に取り組んでいたSDEの離散時間・空間近似について得られた結果について、投稿中であった論文が大きく修正を加えた後に受理された。また、同様に前年度まで課題として取り組んでいた小さなパラメータを持つ確率微分方程式の効率的な近似計算法についての結果が論文誌に修正の後に受理された。