結び目のゼロトレースとスライス・リボン予想

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３次元空間に埋め込まれた閉じた紐を結び目という。お皿のような円板状の図形の淵には結ばれていない結び目が現れるが、この円板を４次元空間に持っていくとその淵が複雑に結ばれた結び目になることがある。このような結び目をスライス結び目という。スライス結び目は結び目と４次元幾何学の関係を記述する際に頻繁に登場しており、４次元の図形を理解する上で重要な対象とみなされている。本研究ではスライス結び目の特徴づけを与える予想「スライス・リボン予想」の解決と結び目のゼロトレースと呼ばれる対象の性質の解明を主目的としている。当該年度では、まずゼロトレースに関する既存の結果の整理を行った。特に、微分同相なゼロトレースを持つ異なる結び目の構成方法として知られていた、アニュラスツイスト、双対化可能パターン、RGB図式の関係に関するMiller-PiccirilloおよびPiccirilloの結果をサーベイにまとめ国際論文誌に投稿した。また、スライス・リボン予想への新たなアプローチとしてリボンコンコーダンスを用いた手法を取り入れた。近年、Agolによってリボンコンコーダンスは半順序関係を定めることが示された。これにより、スライス・リボン予想は結び目全体の集合とリボンコンコーダンスが定める半順序集合における最小限の存在問題と解釈できるようになった。この観点からスライス・リボン予想にアプローチすべく、極小元の発見に努めた。その結果、８交点以下の結び目についてその極小性を決定した。また強擬正ファイバー結び目が極小元であることを二通りの方法で確かめた。