分子気体力学にもとづく流体構造連成問題の数学解析

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本課題の目的は，分子気体力学にもとづいた流体構造連成問題の数学理論を構築することである．最終的には流れの方程式として，分子気体力学の基礎方程式であるBolzmann方程式を扱いたい．しかし，これはただちには困難であり，まずはBoltzmann方程式から流体力学極限を通して得られる，圧縮性Navier－Stokes方程式の場合に取り組むことが当初の計画であった．本年度の研究ではこの計画に沿って，1次元圧縮性粘性流体中を運動する質点の長時間挙動を調べた．具体的には，以下のような内容である．先行研究（Koike, J. Diff. Equ., 2021）では質点の速度 V(t) の減衰に関して，上からの評価を得ていた．この解析の中では拡散波（diffusion waves）が重要な役割を果たしているが，拡散波だけでは長時間挙動の上からの評価しか得られず，下からの評価は得られなかった．一方，本研究の準備段階で得た成果として，新たに双拡散波（inter-diffusion waves）と呼ぶものを導入することで，下からの評価が得られることも分かっていた．この成果は未公表であったが，今年度中に論文として公表することができた（J. Math. Fluid Mech., 2022）．しかし，この研究でもまだ完全には理解できない詳細な長時間挙動があることも分かっていた．今年度の研究では，拡散波や双拡散波を含む，高次の拡散波を体系的に構成し，流れの漸近展開を与えることに成功した．この結果により，摂動的な枠組みではほぼ完全に長時間挙動を理解できるようになったといえる．なお，この成果はプレプリント（https://arxiv.org/abs/2211.14121）として公表している．