Construction of triplet spaces for modern quantum theory

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量子力学を記述する空間はHilbert空間とされる。しかし、Hilbert空間には（I）非有界作用素がHilbert空間全体を定義域にできない、(II) 位置や運動量の固有関数であるデルタ関数や平面波がHilbert空間に属さないという問題がある。これを解決するようにHilbert空間を拡張した空間がRigged Hilbert空間と呼ばれる三つ組空間である。これは、量子力学を記述するには少なくとも三つの空間が必要ということを意味する。それでは、非エルミート量子系や凝縮系など従来のRigged Hilbert空間に基づく量子力学を超えた量子論の基礎空間はなんであろうか。このプロジェクトではこのような問に答えるべく、様々な状況における量子論の基礎空間を構築する。本年度は非エルミート量子系の一つである準エルミート量子系を扱った。準エルミート量子系とは、正定値計量のもとエルミートとなる物理系である。この系は適切な計量を入れることでエルミートな量子系と同等となるため、その基礎空間はRigged Hilbert空間を拡張したものになる。本研究では、この系に対してその基礎空間である拡張されたRigged Hilbert空間を構築し、そのブラケット表記との対応関係とスペクトル定理を導いた。特に、PT対称性のある量子系を想定し、一般論との対応関係を書き下した。さらに、Swanson模型と呼ばれるPＴ対称な非エルミート振動子模型を対象とし、具体的に位置、運動量、ハミルトニアンに対するスペクトル定理を書き下した。