数値的時間粗視化による非平衡系の確率的運動方程式の探索

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平衡系でのランジュバン方程式の粗視化について考えるための例題として、周期ポテンシャル中の1次元ブラウン運動に関する研究を行った。ポテンシャルを乗り越える典型的な時間よりも十分長い時間スケールで運動を観察すると、ポテンシャルの寄与はならされ、ブラウン運動は有効拡散係数をもつ単純なランジュバン方程式で記述されると期待できる。既存の粗視化手法である特異摂動法を用いることで、実際にそのような粗視化されたランジュバン方程式を導くことができ、有効拡散係数の表式も得られる。長時間変位に着目すると、元の方程式と粗視化されたランジュバン方程式で、長時間変位の1次キュムラントと2次キュムラントは一致していることが確かめられた。今回用いたモデルは単純なモデルであり、長時間変位の高次キュムラントも解析的に計算することができるため、4次キュムラントも具体的に計算した結果、元のモデルでは一般的には0にならないことが示せる一方で、粗視化したランジュバン方程式では必ず0になることが示せた。つまり、非常に単純なモデルでも、標準的な手法で粗視化を行うと、長時間での統計的な振る舞いが元と異なることを発見した。そこで、長時間での統計的な振る舞いが一致する粗視化されたランジュバン方程式の形を予想し、この予想が正しければ粗視化されたランジュバン方程式の応答を測定をするだけで、長時間平均速度の大偏差関数を求めることができることを明らかにした。1次元1粒子の非平衡系において、長時間平均量の統計性が素朴な中心極限定理に従わないことがあることを発見し、様々な状況下でゆらぎの具体的な表式を導いた。また、多粒子系の数値計算を行い、1粒子系と同様な結果は特殊な状況下でのみ得られることを明らかにした。