モザイク多様体上の測地流の位相幾何学的研究

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当研究では,昨年度から継続して,双曲面を合同な三角形で覆ったモザイクから得られる軌道体上の測地流の力学系的・位相幾何学的性質を調べることを目的としている。昨年度は,このような測地流の多くは,SL(2,Z)の双曲的な元の懸垂流に手術を施して得られることに注目して,より一般に,有向閉3次元多様体上の横断的に区分線形な余次元1葉層構造の離散的ゴドビヨン・ヴェイ不変量に対する手術公式を証明した。今年度は,モザイクから得られる軌道体上の測地流の力学系的性質を調べるために,この測地流とSL(2,Z)の双曲的な元との対応を調べた。ここで考えている双曲面のモザイクは,π/p,π/q,π/r(p,q,r∈N,1/p+1/q+1/r<1)を三つの角とする三角形二つからなる四角形を基本領域とし,それから得られる軌道体M(p,q,r)は三つの特異点をもつ球面である。M(p,q,r)の測地流には切断は存在しないが,境界付きトーラスを境界部分を除いて測地流に横断的であるようにはめ込むことができる。この境界付きトーラスについての第一回帰写像のホモトピータイプを求めることにより,p,q,rがある条件を満たす場合に,この測地流とSL(2,Z)の双曲的な元との対応を明らかにすることができた。これより,離散的ゴドビヨン・ヴェイ不変量に対する手術公式を用いて,多くのBrieskorn多様体上のアノソフ葉層の離散的ゴドビヨン・ヴェイ不変量を求めることができる。