代数多様体の小特異点の分類理論

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代数多様体の小特異点とは,広くは,その特異点解消で,例外集合の余次元が2以上であるものを言うが,例外集合が既約直線の場合を調べることが当面の課題であった.まず,3次元多様体の小特異点については,有理型と種数の高いものがある.種数にも2つの概念があって,例外集合の種数と,特異点解消の構造層の1次直像の次元とがあり,後者のほうが一般には大きい.さて3次元有理型ゴレンシュタイン小特異点については,その広さによってA_1,D_4,E_6,E_7,E_8-I,E_8-II型という6種類に分類される.このうち,A_1型は以前から良く研究されており,D_4型もいくらかの研究があった.本研究では,E_6型の構造の研究について,特に大きな進歩があった.E_6型小特異点の可算個のファミリーを発見し,その解析的構造を見いだした.例えば,-x^2_4+x^3_3+x^5_1-x_1x^3_2+3x^2_1x_2x_3+x^<2k+2>_1x_2+(-1)^kx^k_1x_3x_4=0,-x^2_4+x^3_3+x^5_1-x_1x^3_2+3x^2_1x_2x_3-x^<2k+3>_1x_3+(-1)^kx^<k+1>_1x_2x_4=0等,が新たに発見されたE_6型小特異点である.ゴレンシュタインでない小特異点については,種数が高い曲線を例外曲線に持つものについて,負でない法線束をもつものの例を,組織的に構成した.また,3次元Gorenstein有理小特異点の構成方法を応用して,4次元のフリップ型特異点を何個か構成するのに,成功した.特に,可知氏の論文に登場したフリップ特異点の解析的構造を決定し,それがC^6の中で,3個の方程式x_1x_6=x_3x_5,x_4x_5=(x_3-x^n_2)x_6,x_1x_4=(x_3-x^n_2)x_3で定義される特異点であることを見いだした.