代数多様体の楕円型小特異点

この研究で以下のような画期的な成果が得られた。本年度の研究は高次元楕円型多様体Xの楕円型孤立小特異点(X,x)に関するものであって,その小特異点解消f:Y→Xの例外集合C=f^<-1>Xによって,その構造を研究するものであった。特にCが既約で非特異な場合が興味の対象であった。2次元の場合と異なり,Cの法線束N_<C/X>が負であることが期待できないことが,3次元以上の問題であることを,以前から私は指摘していた。しかし,そのような具体例は今まで知られていなかった。この点に関して,私は以下の結果の一部を簡略化して述べると以下のようになる。N_<C/X>の部分ベクトル束で次数最大のものをMとし,a-degM,b=degN_<C/X>-aとすればa+2b<0が成り立つ.逆にqを任意の非負整数,a,bをa+2b<-dimX+2(a【less than or equal】0,b<0)を満たす任意の整数とすれば,genus(C)=gで,N_<C/X>の部分ベクトル束で次数最大のものをMとしたとき,a-degM,b=degN_<C/X>-aとなるような(X,x)を構成することができる。実際に得られた結果の全体は,紙面の制約上詳しく述べられないが,上記よりもっと精密な評価や,有理性に関する諸結果を含むものである。

この研究で以下のような画期的な成果が得られた。本年度の研究は高次元楕円型多様体Xの楕円型孤立小特異点(X,x)に関するものであって,その小特異点解消f:Y→Xの例外集合C=f^<-1>Xによって,その構造を研究するものであった。特にCが既約で非特異な場合が興味の対象であった。2次元の場合と異なり,Cの法線束N_<C/X>が負であることが期待できないことが,3次元以上の問題であることを,以前から私は指摘していた。しかし,そのような具体例は今まで知られていなかった。この点に関して,私は以下の結果の一部を簡略化して述べると以下のようになる。N_<C/X>の部分ベクトル束で次数最大のものをMとし,a-degM,b=degN_<C/X>-aとすればa+2b<0が成り立つ.逆にqを任意の非負整数,a,bをa+2b<-dimX+2(a【less than or equal】0,b<0)を満たす任意の整数とすれば,genus(C)=gで,N_<C/X>の部分ベクトル束で次数最大のものをMとしたとき,a-degM,b=degN_<C/X>-aとなるような(X,x)を構成することができる。実際に得られた結果の全体は,紙面の制約上詳しく述べられないが,上記よりもっと精密な評価や,有理性に関する諸結果を含むものである。