シュレディンガー方程式の準古典解析

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3次元球対称ポテンシャルをもつシュレディンガー方程式について、ひとつの固定された角運動量lに対する方程式-h^2(d^2u)/(dr^2)+{V(r)+h^2(l(l+1))/(r^2)}u=Euの散乱行列およびレゾナンスの分布を準古典極限において記述することに成功した。ただしポテンシャルは原点以外の有限な点で極大値V_mをとるとし、エネルギーはV_mの近房の値をとるとする。またその点の外ではV_mより小さな値をとり、さらに十分速く減少するものとする。問題は極大点の内側でのポテンシャルの形である。次の三つの場合に分類する。(A) :V(r)>V_mを満たす点が極大点の内側に存在する場合。(B) :V_mはVの最大値であり、Vは原点で正則な場合。(C) :V_mはVの最大値であり、Vは原点でクーロン斥力の場合。この三つの場合の違いはたとえばレゾナンスの量子化条件に次のようにあらわれる。λを(A)のとき0,(B)のとき1/2,(C)のとき1をあらわす数とする。Σ_<01>(E)を極大点の内側の井戸上のhに依存しない作用積分、Σ_1(E)を極大点上のバリアの作用積分とするとレゾナンスの量子化条件は次のようになる。Σ_<01>(E)+ih/2logN(i(Σ_1(E))/(πh))={n+1/2+λ(l+1/2)}πh+O(h log h)ただしN(z)=√<2π>exp(zlog(z/e))/Γ(z+1/2)は調和振動子のJost関数で、バリアトップから来るものである。一つの難点は、ポテンシャルが原点に特異性をもち、いわゆるWKB漸近解が原点の近くで一様でないことである。このことは、Langer modificationによって原点を無限遠点に写し、そこで数学的に厳密なexact WKB法を注意深く適用してやることによって克服できる。