シュレディンガー方程式の準古典解析

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Resonancesの準古典分布に関する研究をWKB法を用いて行った.特に本年度は多次元の問題に着手した.Schrodinger作用素のある意味での複素固有値として定義されるresonancesは,対応する古典力学系の捕捉された軌道と密接な関係がある.その捕捉された軌道の集合が一つのhomoclinicな軌道で構成されている場合のresonancesの準古典分布の研究を,J.F-.Bony氏,T.Ramond氏,M.Zerzeri氏と共に試みた.方法としては,一次元の場合に有効なexact WKB法に代わって,超局所的なWKB解析を用いる.すなわち相空間で超局所的にWKB解を構成し,homoclinic軌道に沿ってこのWKB解を接続する.軌道を一周して同じ点に戻った時,元の解と一致するという条件からresonancesの量子化条件を導く.本科学研究費による研究では,特に平衡点の近傍でのWKB解の接続問題を考察した.ポテンシャルの非退化な最大点の近くでのWKB解の挙動は,対応する古典力学系の平衡点の近傍でのHamilton流の構造と深く関わっている.ところが平衡点はHamilton流の特異点であるから,ここでは相関数,振幅関数が特異性をもち,WKB解は漸近解としての意味を持たない.そこでわれわれは時間に依存するScrodinger方程式のWKB解のLaplace変換として解を積分表示することを考えた.すると,この時間に依存したWKB解は,空間変数に関しては平衡点の近傍で解析的である.この積分の漸近展開を計算することによって,平衡点からはなれた軌道上で定義された時間に依存しないWKB解の間の接続公式が得られた.