ディラック作用素の逆境界値問題について

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3次元空間の滑らかな有界領域上で、電磁場に対応するポテンシャルをもつディラック作用素を考える。適当なポテンシャルの仮定のもと、標準的な表現の場合、定義域の4成分のうち、第1,2成分にディリクレゼロの境界条件をつけた適当な定義域で自己共役作用素になる。これより、第1,2成分のディリクレ境界値を与える境界値問題が一意的に解けるとき、その解の第1,2成分の境界値に対し、第3,4成分の境界値を対応させる写像(D-Dmap)が定義される。ここでは境界値逆問題のひとつとして、一意性、すなわちポテンシャルからこのD-Dmapの対応の単射性を調べた。今回の研究の副産物として、境界値の空間の厳密な構成により、この順境界値問題が自然な関数空間で解けるようになり、D-Dmapの定義も自然になった。平成9年度は、ポテンシャルが小さい場合、複素幾何光学解(複素の周波数をもつ遠方で指数的に増大する解)を用いて、磁場とスカラーポテンシャルからD-Dmapへの単射性を証明した。更に、平成10年度、ポテンシャルが一般の場合に滑らかさを仮定し、複素幾何光学解の構成においてintertwiningpropertyといわれる性質を用い、一意性を証明した。またある条件のもと、D-Dmapの漸近展開を書きくだすことができ、境界において磁場とスカラーポテンシャルの同定が可能となった。また、シュレディンガー作用素における方法を応用し、散乱振幅とD-Dmapの関係を明かにすることによって、ディラック方程式の固定したエネルギーでの散乱逆問題の一意性に対する結果も得た。