層状媒質における弾性波伝播問題

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3次元ユークリッド空間R^3において、平面x_3=0が界面なす、上半空間R_+^3下半空間R_-^3各々が均質な、即ち定数係数で与えられる弾性波の伝播を考えた。界面以外に単位衝撃を置くと、入射波、反射波、屈折波が現れるが、その他に側面波が現れる。この物理現象を波面集合として捉え、下から及び上からの評価を行った。波面集合とは、解の特異性としての位置とその特異性を出現させる方向を併せて記述するものである。この結果、下からの評価と上からの評価が一致し、この物理現象が必ず現れ、またこれ以外に現れなりことを、アチヤ-ボット-ゴールディングにより提唱された局所化の方法を用いて証明した。ところで界面に単位衝撃を置くとこの物理現象とは異なり、ある条件下ではストンリー波が現れる。この現象を波面集合として捉え、下からの評価と上からの評価が一致することも、同様の方法で証明した。これらの結果については、それぞれ論文としてまとめ、現在投稿中である。また、弾性波を時間に無関係な静的問題として捉え、特にSH波と呼ばれる解の滑らかさについても考察した。界面での不連続性があるため、R^3全体の解とみた時にどの位の滑らかさとなるかが問題となる。関数の正則性(滑らかさ)とフーリエ像の減衰性との関係を与える、ボホナーの定理を拡張した定理を用いることにより、界面での不連続性があるにも関わらず、R^3全体の解としてリプシッツ連続であることが証明された。この結果についても論文としてまとめ、現在投稿中である。