弾性体及び流体の界面問題に関する研究

まず、弾性体の界面問題として、弾性体のレゾルベント問題に対し、2つの滑らかなコンパクト超曲面で囲まれた界面問題のL_p評価とシャウダー評価を満たす解の一意存在を示した。次に、ストークス作用素のレゾルベント問題の内部及び外部領域におけるノイマン境界条件に対する問題のL_p評価を満たす解の一意存在を示した。さらに、ストークス作用素のレゾルベント問題に対し、内部界面問題として、境界でディリクレ境界条件を界面でノイマン境界条件を満たす問題を、また、外部界面問題として、界面でノイマン境界条件を満たす問題を考えた。これらの界面問題に対して、内部問題や外部問題と同様のアプローチにより、L_p評価を満たす解の一意存在を示した。まず、内部界面問題に対し、L_2の枠組みで弱解の存在を示す。次に、カットオフ関数を掛けて局所化し、全空間の問題、半空間の問題、及び全空間でx_3=0を界面とする問題に還元する。それぞれの問題に対しフーリエ変換を用いて具体的に解を構成し、この解にフーリエマルチプライヤーの定理を適用してL_p評価を導いた。特に、全空間でx_3=0を界面とする問題に対しては、境界値問題に比べ行列のサイズが2倍になったロパチンスキー行列式の解析に工夫を要した。これらの評価を集め、直交変換により元の領域に戻して、内部界面問題に対するL_p評価を得た。外部界面問題に対しては、内部界面問題と異なり、弱解の存在が示せないため、パラメトリックスを構成して解の存在を示した。全空間の問題の解と内部界面問題の解を貼り合わせて構成するが、ダイバージェンスフリー条件を保つためにBogovskii-Pileckasの補題を用いた。

まず、弾性体の界面問題として、弾性体のレゾルベント問題に対し、2つの滑らかなコンパクト超曲面で囲まれた界面問題のL_p評価とシャウダー評価を満たす解の一意存在を示した。次に、ストークス作用素のレゾルベント問題の内部及び外部領域におけるノイマン境界条件に対する問題のL_p評価を満たす解の一意存在を示した。さらに、ストークス作用素のレゾルベント問題に対し、内部界面問題として、境界でディリクレ境界条件を界面でノイマン境界条件を満たす問題を、また、外部界面問題として、界面でノイマン境界条件を満たす問題を考えた。これらの界面問題に対して、内部問題や外部問題と同様のアプローチにより、L_p評価を満たす解の一意存在を示した。まず、内部界面問題に対し、L_2の枠組みで弱解の存在を示す。次に、カットオフ関数を掛けて局所化し、全空間の問題、半空間の問題、及び全空間でx_3=0を界面とする問題に還元する。それぞれの問題に対しフーリエ変換を用いて具体的に解を構成し、この解にフーリエマルチプライヤーの定理を適用してL_p評価を導いた。特に、全空間でx_3=0を界面とする問題に対しては、境界値問題に比べ行列のサイズが2倍になったロパチンスキー行列式の解析に工夫を要した。これらの評価を集め、直交変換により元の領域に戻して、内部界面問題に対するL_p評価を得た。外部界面問題に対しては、内部界面問題と異なり、弱解の存在が示せないため、パラメトリックスを構成して解の存在を示した。全空間の問題の解と内部界面問題の解を貼り合わせて構成するが、ダイバージェンスフリー条件を保つためにBogovskii-Pileckasの補題を用いた。