組合せ論の極値的問題における確率的方法の研究

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昨年のグラフ理論におけるサイクル被覆のWang予想の証明および直交多角形の長方形被覆に関するWatanabe予想の証明を発展させ、より強く美しい結果を得た。またグラフ理論におけるサイクルの存在性の研究を行い、成果を得た。グラフがハミルトングサイクルをもつための条件として、オーレの次数条件(Ore,1961)がもっとも古典的なもので評価が高い。この後、オーレ型次数条件をもつグラフの中のサイクルの研究が盛んに進んでいるが、その流れのなかで、H.Wangは雑誌Jouranal of Graph Theoryにおいて、ある予想を提示した。それは、グラフの頂点数が十分大きい時、どの非隣接2頂点の次数和も\n+2k-2\以上あれば、任意の\k(＼geq 2)\個の独立辺のそれぞれを経由する\k\個サイクルで、グラフの頂点を分割できるというものである。彼のその論文の中で\k=2\の場合を主定理として証明している。また\k=3\の場合も証明できたことをアナウンスしている。これらの背景の中で、任意の\k\に対してWang予想が成り立つことを証明した。さらに頂点数の下限も\4k-1\であることを示し、\4k-2\の場合はサイクルをもたない場合もあるが、その場合はある簡単なグラフに限られることを示した。そしてその証明の大幅な簡略化に成功した。またこの研究の流れの中で、指定された辺ではなく頂点を通るサイクルの研究を開始した。そして、被覆するサイクルの存在ではなく、短いサイクルの存在性に対して、ほぼベストな最小次数の条件を得ることに成功した。長さを限定しないサイクルの存在定理も実はこれらの結果から系として導かれる。