群上の算術関数を用いた群の構造の研究

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群の構造を算術関数、即ち群G係数の単項式を用いて調べる上での基本理論の整備を行った。前年度から引き続いての結果であるが次に挙げる結果が得られた。(I)一般素数グラフの補グラフの連結性と群の構造の関係、特に可解グラフを用いて、どの様な2元が非可解部分群を生成するかを判定できること(II)Mを群G上の単項式全体としたとき、Mは群構造を持ち、Mの正規部分群N,Lの可換化とNL及びNとLの可換化が互いに密接に関係していることを移送写像を用いて記述できること(III)Mの群論的性質PについてのP-部分群全体のなす束が一般burnside環を用いるとその構造(特にG-加群構造について)等が明確に記述出来ることなどである。これらについての論文は現在準備中であり、近日中に学術誌に投稿発表する予定である。またこれらの結果により、群の単純性、正規部分群の分布等の群の性質を解析するための群上の算術関数論の基本理論の整備がほぼ完了したものと思われる。これらに関して次のような興味ある予想を立てることもできた:「可解グラフで連結してない任意の素数p,qについてp-要素xとq-要素yについてxとXのyによる共役、又はyとyのxによる共役でされる部分群の少なくとも一方は非可解である。」である。これは、「任意の2元で生成される部分群が可解であるならばもとの群は可解である」という定理をより強力にしたもので、群の単純性を判断する上で大変有用なものであり、今後の研究の重要な課題の一つである。