測地線定理の精密化

测地线定理的细化

• 批准号: 11740026
• 负责人: 小山 信也
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740026/
• 关键词: 素測地線定理; 素数定理; 整数論; スペクトル幾何学; セルバーグ跡公式; ゼータ関数; 保型関数; L-関数; リンデレーフ予想; 素測地線; 量子カオス; ベッセル関数; 分布定理

測地線定理あるいは素測地線定理はリーマン多様体の閉測地線の長さの分布に関する定理であり、素数定理の幾何学的類似として位置付けられるものである。素測地線定理の精密化は多様体上のラプラシアンの固有値分布のランダム性に関係し、スペクトル幾何学の未解明な現象を含んでいる問題と考えられている。本研究はそうした背景を踏まえ、3次元数論的多様体に関して素測地線定理の精密化を行うことを目的とした。2次元の場合はルオとサルナックにより1995年に精密化がなされている。本研究で3次元数論的多様体に対して以下の成果を得た。第一に、リンデレーフ予想を仮定した下での素測地線定理の誤差項を、これまで知られていた5/3乗から11/7乗に改善した。実際には平均リンデレーフ予想という通常よりも弱い形の仮定で成立する。3次元の場合は2次元の場合と異なり、スペクトラル大篩の方法が確立されていないため、現状では平均リンデレーフ予想の仮定が必要となる。この仮定を外すためには、クズネツォフ公式の高次元化が必要であるが、最近、本橋とブルッグマンによりそれが成されつつある。今後、彼らの結果を用いることにより、リンデレーフ予想の仮定を外すことが可能になると思われる。第二の成果は、アイゼンシュタイン級数の量子エルゴード性の証明である。これには保型L関数の凸境界の改善が必要であったが、昨年、ペトリディスとサルナックは3次元の非正則カスプ形式のL関数について改善に成功した。その結果を用い、アイゼンシュタイン級数の量子エルゴード性の証明に成功した。3次元の場合はこれまでに量子エルゴード性の成立を示唆する数値計算例が全く得られておらず、その成立の可否は不明であったが、本研究によりそれを初めて証明することができた。

The geodesic theorem is similar to the prime geodesic theorem in geometry, and the prime number theorem is similar to the prime geodesic theorem. The refinement of the prime geodetic theorem, the relationship between the intrinsic value distribution and the properties of the multiple-body, the inclusion of unsolved phenomena in geometry, and the investigation of problems. This study is about the refinement of the prime geodetic line theorem in the context of the three-dimensional number theory. 2-D occasions are refined in 1995. In this study, the following results are obtained from the multi-dimensional number theory. The error term of the prime geodetic theorem is 5/3 times better than that of the original geodetic theorem. In fact, the average number of people who want to be in the middle of the middle. 3-D situations are different from 2-D situations, and the method of large screening is established, and the current situation is determined. This is the first time that the formula has been changed to a higher dimension. In the future, the results will be used to determine the possible results. The second result is the proof of quantum property of the series. It is necessary to improve the convex boundary of L relation number in order to keep the shape of L relation number, and it is successful to improve the convex boundary of L relation number in order to keep the shape of L relation number. The results show that the quantum property of the series is successfully proved. 3-dimensional case is the quantum nature of the establishment of the calculation example, the establishment of the unknown, this study is the initial proof

项目成果

Shin-ya Koyama: "Quantum ergodicity of Eisenstein series for the Picard manifold"Communications in Mathematical Physics. (掲載決定)(未定).

Shin-ya Koyama：“皮卡流形的爱森斯坦级数的量子遍历性”数学物理通讯（已决定出版）（待定）。

Shin-ya Koyama: "Prime geodesic theorem for arithmetic manifolds"Forum Mathematicum. (発表予定). (2000)

Shin-ya Koyama：“算术流形的素数测地定理”数学论坛（2000 年）。

Shin-ya Koyama: "Prime geodesic theorem for arithmetic 3-manifolds under the mean-Lindelof hypothesis"Forum Mathematicum. 12(未定). (2000)

Shin-ya Koyama：“均值林德洛夫假设下的算术 3 流形的素数测地线定理”数学论坛 12（待定）。

Shin-ya Koyama: "Selberg zeta functions of PGL and PSL"Developments in Math. 2. 253-261 (1999)

Shin-ya Koyama：“PGL 和 PSL 的 Selberg zeta 函数”数学发展。