多様体の退化と代数的構造

研究実績は以下のとおり。今年度の研究は、標数0に比べて、理論的整備の遅れている正標数の重複ファイバーの理論に重点を置いて研究を行い,前年度得た正標数超特異楕円重複ファイバーの重複度についての結果をより深く考察することにより,次の結果を得た。(1)これまでp閉ベクトル場を用いて座標環の計算に持ち込んでいた証明を全面的に見直して,ベクトル場の双対概念である微分形式による記述で書き直すことに成功した。これにより,より幾何学的な視点からの研究が行なえる枠組みを与えることができたといえる。(2)(1)の結果をもとに詳細な分析を行なうことにより,正標数超特異楕円重複ファイバーの現れ方の情報が楕円曲面上のある特別な形の有理1次微分形式と密接な関係にあることを見いだすことができた。さらに,ここで現れる特別な形の有理1次微分形式が、標数0の重複ファイバーにおけるこれまでの研究で重要な役割を果たした微分形式と同種の性質をもつ,より詳しく述べるならば、重複ファイバーの台に沿ってのみ極をもつ,有理1次微分形式であることが明らかになった。この研究結果により,楕円曲面上の重複ファイバーの配置を,正標数で標数が重複度の因子となる場合も含めて標数0と正標数双方を統一的に記述しようという試みが,微分形式という扱い易い対象物で捉えることで実現できる見込みが立ち,標数0と正標数双方の理論の統一に向けての出発点に立つことができたといえる。

研究実績は以下のとおり。今年度の研究は、標数0に比べて、理論的整備の遅れている正標数の重複ファイバーの理論に重点を置いて研究を行い,前年度得た正標数超特異楕円重複ファイバーの重複度についての結果をより深く考察することにより,次の結果を得た。(1)これまでp閉ベクトル場を用いて座標環の計算に持ち込んでいた証明を全面的に見直して,ベクトル場の双対概念である微分形式による記述で書き直すことに成功した。これにより,より幾何学的な視点からの研究が行なえる枠組みを与えることができたといえる。(2)(1)の結果をもとに詳細な分析を行なうことにより,正標数超特異楕円重複ファイバーの現れ方の情報が楕円曲面上のある特別な形の有理1次微分形式と密接な関係にあることを見いだすことができた。さらに,ここで現れる特別な形の有理1次微分形式が、標数0の重複ファイバーにおけるこれまでの研究で重要な役割を果たした微分形式と同種の性質をもつ,より詳しく述べるならば、重複ファイバーの台に沿ってのみ極をもつ,有理1次微分形式であることが明らかになった。この研究結果により,楕円曲面上の重複ファイバーの配置を,正標数で標数が重複度の因子となる場合も含めて標数0と正標数双方を統一的に記述しようという試みが,微分形式という扱い易い対象物で捉えることで実現できる見込みが立ち,標数0と正標数双方の理論の統一に向けての出発点に立つことができたといえる。