ホモロジー論におけるカテゴリー論的手法

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1.Fibrewise homotopy theolyとゲージ群のホモトピー論的研究このテーマについては代表者と研究協力者佃修一氏(琉球大学理学部助手)が協力して研究した。有限複体を底空間とする主束の同伴随伴束のホモトピー型の研究を、fibrewise homotopy theoryを用いて研究し、その分類に成功した。このときfibrewiseな局所化について研究し、この意味でいつこの随伴束が自明かという問題も解決することで分類問題を解決した。ゲージ群は、この随伴束の切断の空間と考えられるので、さらに岡山理科大学栗林勝彦助教授との共同研究では随伴束のコホモロジーの構造についても研究した。これらの研究では、圏論の考え方が重要であった。2.ホモトピー代数の研究ホモトピー代数はGrothendickのSGAにその起源があり、その後Quillenによって定式化された。その後あまり注目されなかったが最近代数多様体のホモトピー論を考える上で重要になってきている。このように普通の意味でのホモトピーが考えられない圏でのホモトピー論ではモデルカテゴリーを考えることでホモトピー論を展開する必要が多い。この方向で重要なのがヱタールホモトピー論である。従来よりも圏論的な手法を取り入れることによりSpin(2n+1)/U(n)とSp(n)/U(n)は1/2で局所化するとホモトピー同値であることを示すことができた。3.L-S CategoryL-S Categoryは多様体の上の可微分な函数の特異点の数を数える問題を起源としている。この問題を考えるときに高次のホモトピー結合性の問題と深い関係があることが最近九州大学数理科学院の岩瀬則夫助教授の研究で発見された。代表者は岩瀬氏と共同でいくつかの成果を得ており現在プレプリントを作成中である。