特異性をもつ界面モデルの確率解析

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今年度は以下の研究を実施し、成果を得た。多次元正方格子上で定義された、デルタピンニングをもつガウス型▽φ界面模型の巨視的スケール極限について考察した。このようなスケール極限において、大偏差原理レベルにおける速度関数の最小点が一意であればそれが極限になることはよく知られている。しかし最小点が複数の場合には、さらに詳しい確率評価が必要になる。研究代表者は、そのような状況において、空間次元dがd≧3を満たし、かつピンニングの強さがある程度大きければ、ピンニングされた図形が巨視的極限において優位性を持つことを証明した。▽φ界面模型の流体力学極限は、局所エルゴード性を示すことにより証明される。これは研究代表者とH. Spohn氏のエントロピー法に基づく1997年の共同研究の成果である。最近、F. Otto氏,C. Villani氏らは「最良な質量輸送問題」に関連して現れる種々の解析的不等式と「2-スケールアプローチ」を組み合わせることにより、ある種のスピン摸型に対する流体力学極限の証明に成功した。本研究では、その重要性にいち早く注目しその手法を適用することにより、▽φ界面模型の流体力学極限の新たな証明およびその拡張が可能であることを示した。半直線上の熱方程式に時空ガウス型ホワイトノイズを付け加えて得られる確率偏微分方程式がウイナー測度を不変測度に持つことは、よく知られた事実である。ウイナー測度はブラウン運動の分布だから、その一般化としてレヴィ過程のパス空間上の分布を考えることは自然である。本研究では、レヴィ過程のパス空間上の分布を不変測度に持つような確率熱方程式の構成、特に熱方程式に加えるべきノイズの構成を行った。