低次元非線形力学系の構造と分岐

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Henon mapに代表される,最も単純な非線形写像の構造と分岐を解明するという研究計画を実行するため、主に次の2つの方向から研究を行い、以下のような成果を得た.(1)Henon mapの分岐は、horseshoe mapの生成過程や、Hamiltonian systemの最も単純なモデルを含んでおり、非線形力学系の分岐を知る上で、最も基本的な対象であると言える.この研究では、Henon mapの分岐ダイアグラムの構造を探るために、その周期点曲面というものに着目した.これらの形状と、その相互の位置関係がわかれば、Henon mapの分岐の様子をある程度記述できるのである.現在の段階では、次のような結果が得られている.周期点曲面には1次元部分と双曲型部分とが含まれており、これらの部分に於いては、対応する周期のdynamicsは、itineraryという記号列によって完全に記述されている.この研究では、これらの1次元部分と双曲型部分とが、互いにどのようにつなぎ合わされているのかを表すための、記号列に関する極めて自然な十分条件を見いだした.(2)これまでの研究により得られたmissing block expressionを一般化し、何らかの位相不変量を構成するためには、双曲型不動点の安定多様体と、不安定多様体とのintersectionの様子をより詳しく見る必要がある.今年度の研究においては、Henon mapに対して、今までに得られているものよりもはるかに精密にこれらを表示する、計算機プログラムを作成した.これにより、Henon mapがhorseshoe mapになる以前の、全く新しいタイプのhyperbolicityが見つかってきており、不変量を構成するための、新たな知見が得られつつある.