低次元非線形力学系の構造と分岐

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非線形写像の力学系としての構造と分岐を研究するために、その最も単純なモデルとしてのHenon mapの性質を解明する…というのがこの研究の目的である.特に、Henon mapの分岐構造を調べるため、周期点曲面という代数多様体を導入し、その幾何学的な構造を調べてみようというのがひとつのテーマであった.具体的には,その周期点曲面の1-dimensional partとhyperbolic partとがどのように結合しているのかを表現するような、記号列に関する自然な十分条件をすでに得ていたわけだが,その必要性を示すのがひとつの課題であった.これについては,多変数複素関数論,多変数ポテンシャル論の観点から代数多様体の位相的性質を調べ,ある種の極小性を証明しようとする方向性で現在研究中であるが,今のところ具体的な成果は出ていない.面積を保存するHenon familyはKAM理論的分岐を示すことはよく知られているが、パラメーターを大きくしてゆくとhorse shoe mapとなり,2-symbolのfull shiftと同型となる.その意味で,KAM理論的分岐で発生する周期点やinvariant circleなどが,どのようにsymbolic dynamicsの中に埋めこまれているのかは興味深い問題である.これについては,Biham-Wenzelの方法によって得られるいくつかの周期点について,計算機による数値実験で得られた結果と,理論的な解析によって得られるrotation numberなどの不変量との比較等を行なっている.現在のところ,興味深いデータが得られつつあるが,まとまった理論的結果とするためには,さらなる研究が必要である。