主バンドル上のアインシュタイン計量の研究

コンパクト・リー群上の左不変なアインシュタイン計量は、Jensenによる先駆的研究のあと、1979年にD'Atri-Zillerによりnaturally reductiveな計量の場合に詳しく調べられている。特に、彼らは、単純リー群上には、両側不変でない左不変なアインシュタイン計量が存在することを示している。また、今までに知られているコンパクト・リー群上アインシュタイン計量はすべてnaturally reductiveであると記している。そこで、コンパクト・リー群上にnaturally reductiveでないアインシュタイン計量を構成することを考えた。ファイバー・バンドルの全空間に対して、底空間の計量・接続・ファイバーの計量を与えることにより、これを全測地的ファイバーに持つリーマン・サブマーションを考え、全空間の計量がアインシュタインになるための条件を調べた。これは現在reverse Kaluza-Klein ansatzと呼ばれている方法である。これまでのところ、小林昭七、Wang-Zillerにより、正のリッチ曲率をもつコンパクト・アインシュタイン・ケーラー多様体の積上の主サークルバンドルの場合、M.Wangにより、四元数ケーラ多様体上のある種の主バンドルの場合に、この方法がうまく適用され、新しいアインシュタイン計量の存在が示されている。我々は、コンパクト・リー群を商空間を底空間とする主バンドルの全空間とみなし、reverse Kaluza-Kleinansatzの方法をうまく適用することにより、ある種の単純リー群(SU(n),SO(2n+1)など)の場合に、naturally reductiveでない左不変なアインシュタイン計量の存在を示すことが出来た。

コンパクト・リー群上の左不変なアインシュタイン計量は、Jensenによる先駆的研究のあと、1979年にD'Atri-Zillerによりnaturally reductiveな計量の場合に詳しく調べられている。特に、彼らは、単純リー群上には、両側不変でない左不変なアインシュタイン計量が存在することを示している。また、今までに知られているコンパクト・リー群上アインシュタイン計量はすべてnaturally reductiveであると記している。そこで、コンパクト・リー群上にnaturally reductiveでないアインシュタイン計量を構成することを考えた。ファイバー・バンドルの全空間に対して、底空間の計量・接続・ファイバーの計量を与えることにより、これを全測地的ファイバーに持つリーマン・サブマーションを考え、全空間の計量がアインシュタインになるための条件を調べた。これは現在reverse Kaluza-Klein ansatzと呼ばれている方法である。これまでのところ、小林昭七、Wang-Zillerにより、正のリッチ曲率をもつコンパクト・アインシュタイン・ケーラー多様体の積上の主サークルバンドルの場合、M.Wangにより、四元数ケーラ多様体上のある種の主バンドルの場合に、この方法がうまく適用され、新しいアインシュタイン計量の存在が示されている。我々は、コンパクト・リー群を商空間を底空間とする主バンドルの全空間とみなし、reverse Kaluza-Kleinansatzの方法をうまく適用することにより、ある種の単純リー群(SU(n),SO(2n+1)など)の場合に、naturally reductiveでない左不変なアインシュタイン計量の存在を示すことが出来た。