アインシュタイン多様体の研究

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リ-マニアンサブマ-ションを用いることにより,ある種のコンパクト等質空間上に新しいアインシュタイン計量の存在を示すことができた.小林昭七により,正のリッチ曲率をもつコンパクト・ケ-ラ-・アインシュタイン多様体上のある種の主サ-クル束には,アインシュタイン計量が存在すること知られている.この定理は,W.ZillerーM.Wangにより正のリッチ曲率をもつコンパクト・ケ-ラ-・アインシュタイン多様体の積多様体上の主サ-クル束の場合に拡張された.一方,M.Wangにより,ある種の主サ-クル束である7次元等質空間上には,アインシュタイン計量が存在することが知られている.これらの定理を,リ-マニアンサブマ-ションを用いることにより統一的に取り扱えることがわかった.さらに,M.Wangの定理を一般化することができた.まず,ある種のケ-ラ-Cー空間上の群不変なアインシュタイン計量をすべて決定し,次に,主ト-ラス束上に自然に与えられるリ-マン計量が,アインシュタイン計量となる条件の一部分は,構造群が一般の場合には主接続の曲率がYangーMillsとなるが,可換のときは調和型式となること,ケ-ラ-Cー空間のとき任意の群不変な計量に対して不変な2型式は調和型式であることを用いて,ある種のケ-ラ-Cー空間上の主ト-ラス束にはアインシュタイン計量が存在することがわかった.今後,これらの主ト-ラス束の位相的性質や微分構造を調べることにより,アインシュタイン計量のモジュライ空間の様子を研究したい.