無限次元並列神経系のホワイトノイズ解析の基礎的研究

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一般化された白色雑音による確率解析学の応用として、ゆらぎをもつ並列神経系でそのゆらぎが一般化された白色雑音としてとらえられるものを無限次元確率微分方程式によって定式化し、その解の挙動を研究した。本研究では一般化された白色雑音をゆらぎにもつ無限次元神経系として次のSegal-Langevin型方程式モデルを考える : dX_i(t)=dW_i(t)-dΓ(A)^*X_i(t)dt、ここにdW_i(t)はホワイトノイズdΓ(A)^*はL^2(R^3)上の閉作用素の第2量子化の共役である。解の存在については飛田のホワイトノイズ解析のアイデアに従い、適当にgeneralized functionalからなる核型フレシェ空間を構成し、その双対上で強い解を構成する。作用素Aがある条件を満たせば、Aの定義する飛田基本空間の中に核型線形部分空間SでdΓ(A)(S)⊂Sかつexp(-tdΓ(A))(S)⊂Sなるものが取れること、さらにこのとき上記方程式は空間Sの双対S′にて強い解をただ一つ持つことを証明した。例えばAがコンパクト逆作用素を持つ自己共役作用素ならば十分である。Aの満たすべき条件については更に詳しく調べている。解は具体的にS′-値Wiener過程による一般化Wiener積分によりX(t)=T(t)^*X(O)+∫ΓT(t-s)^*dW(s)と表される。ここにT(t)=exp(-tdΓ(A))である。本研究の内容は現在論文作成中であり近々専門誌に発表を予定している。