流体力学的不変量による3次元多様体とその上の力学系の研究

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3次元多様体上の体積を保存するベクトル場全体のなす、無限次元Lie環の交換子イデアル上に定義される、非退化で対象な絡み2次形式を通して、3次元多様体、及びその上の力学系や幾何構造を調べることがこの研究の目的である。至る所正な(負な)自己絡みを与える。正の(負の)接触構造、又は、至る所自己絡みが自明となる表層構造が、この絡み2次形式に対する特徴的な構造であるが、元来これらは非可積分構造VS可積分構造という相反する構造であり、同時に研究されることは殆どなかった。本年度の研究に於いては、これらの構造の各々、1つの大さなLie環の元として捉え、それを絡み2次形式により制御して、以下の様な結果を得た。1)Anosov流(Anosov葉層)という可積分構造から、双接触構造と呼ばれる特徴的な非可積分構造が得られる。2)1)を一般化(射影的Anosov流の概念の導入)の後に、逆成立。3)体積保存Anosov流とそれらより得られる双接触構造は、更に4次元多様体上のsymplectic構造を定め、複素幾何の"正則凸性"のsymplecticアナログの凸性を満たす。4)一方この4次元symplecticと多様体は、複素stein多様体の構造を持ち得ず、複素幾何とsymplecticと幾何に於ける凸性の概念の相異を示す例を与えている。今後の研究の、新しい1つの方向としては、以上の様な構造の変形と共に多様体自信の不変量を調べることが考えられ、その為の準備として、高倉樹氏(福岡大・理)をはじめとする幾人かの方々に専門的知識の供与を仰いだ。