二階の接触幾何学

1.有限次元単純Lie環Yに附隨して得られる微分式系についての基礎的研究を、概説と共に論文としてまとめた:すなわち、Yのgradatim Y=(] SY.sym. [)__<poz>Y_Pの分類と、微分式系のsymbolのprolongationに対する田中理論の概説を与え、これを基に、m=(] SY.sym. [)__<p<o>Y_Pに対してad:m→Yに附隨するLie algebra cohomologyの1次の主要部分を、Kortantの方法によって計算し、Yがいつmのprolongationとなるかを、決定した。さらに、Kortantの方法によって2次のcohomologyの主要部分を計算した。これによって、多くのDarboux型定理の成立する微分式系で、無限小自己同型が有限次元単純Lie環となるものを見い出し、その具体的表示法を示した。この研究は、田中氏によって作られた単純階別Lie環に附隨する幾何構造に対するCorian接続の理論、及び、二階の接触幾何学の研究において、重要な基礎付けを与えている。2.高階有限型微分方程式系の幾何学的研究:当初の予定にはなかったが、今年度において研究されたテーマである。高階有限型微分方程式系については、これまで線型の方程式系に対する背足豊氏の研究があった。その研究は、深さ1の単純階別Lie環l=l_<-1>(] SY.sym. [)l_0σl_1とその表現P:l→gl(s)が与えられたとき、(l,P)が定めるsymbolを持つ高階可積分線型微分方程式系に対する同値問題を扱っている。この同値問題が、解の定義される空間を線型独立な解によって射影埋め込みするとき、その像の射影同値問題と等価なことが、佐々木・吉田により指摘されている。我々は、この問題をpseudo-product構造の問題としてとらえ、いわば背足の理論の非線型版が、高階の接触幾何学のワク組みで、構成できることを示した。すなわち、(l,P)が定めるpseudo-product graded lie algebra が考えられ、その構造の接続に対するHarmaner Theoryが展開できる。

1.有限次元単純Lie環Yに附隨して得られる微分式系についての基礎的研究を、概説と共に論文としてまとめた:すなわち、Yのgradatim Y=(] SY.sym. [)__<poz>Y_Pの分類と、微分式系のsymbolのprolongationに対する田中理論の概説を与え、これを基に、m=(] SY.sym. [)__<p<o>Y_Pに対してad:m→Yに附隨するLie algebra cohomologyの1次の主要部分を、Kortantの方法によって計算し、Yがいつmのprolongationとなるかを、決定した。さらに、Kortantの方法によって2次のcohomologyの主要部分を計算した。これによって、多くのDarboux型定理の成立する微分式系で、無限小自己同型が有限次元単純Lie環となるものを見い出し、その具体的表示法を示した。この研究は、田中氏によって作られた単純階別Lie環に附隨する幾何構造に対するCorian接続の理論、及び、二階の接触幾何学の研究において、重要な基礎付けを与えている。2.高階有限型微分方程式系の幾何学的研究:当初の予定にはなかったが、今年度において研究されたテーマである。高階有限型微分方程式系については、これまで線型の方程式系に対する背足豊氏の研究があった。その研究は、深さ1の単純階別Lie環l=l_<-1>(] SY.sym. [)l_0σl_1とその表現P:l→gl(s)が与えられたとき、(l,P)が定めるsymbolを持つ高階可積分線型微分方程式系に対する同値問題を扱っている。この同値問題が、解の定義される空間を線型独立な解によって射影埋め込みするとき、その像の射影同値問題と等価なことが、佐々木・吉田により指摘されている。我々は、この問題をpseudo-product構造の問題としてとらえ、いわば背足の理論の非線型版が、高階の接触幾何学のワク組みで、構成できることを示した。すなわち、(l,P)が定めるpseudo-product graded lie algebra が考えられ、その構造の接続に対するHarmaner Theoryが展開できる。