4次元多様体の幾何学とゲージ理論

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二つのリーマン計量g,g_1があったとき,g_1がgのスカラー関数倍のときそれらは共形同値といい,この同値によって定まる同値類のことを共形構造という。4次元多様体上,反自己双対的共形構造なるものが考えられる。これはワイル共形曲率テンソルが反自己双対的として定義される。さらに反自己双対的共形構造のモジュライ空間が反自己双対的共形構造の全体集合を多様体の微分同相群でわった空間として定義できる。本研究で解明されたことを要約すると,(i)モジュライ空間は(一般には特異点を許容する)実解析的集合の構造をもつことがわかった。これは楕円複体,スライスレンマ,倉西写像定理による。(ii)モジュライ空間はハウスドルフ空間である。Yamabe計量の理論による。(iii)モジュライ空間は自然なL^2ー計量をもつ。K3曲面とよばれる4次元多様体の場合にはこのL^2ー計量はすでに知られていた対称空間の不変計量と一致する。(iv)反自己双対的共形構造に付随した楕円複体の2次コホモロジー群がある種の4次元多様体について計算が実行できた。