接触多様体の幾何学

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接触構造とYang-Mills-Higgs場の考察が行われた。3次元開多様体上の主束の上に磁気モノポールが定義される。物理的に意味のあるものであり数学的にも興味のある対象物である。この3次元モノポールを高次元計量的接触多様体上に拡張して定義した。この拡張された磁気モノポールは3次元の場合と同じくYang-Mills-Higgs汎関数の停留解になっているが,3次元モノポールと全く異なる性質を有することが本研究によって明らかになった。そのひとつは3次元モノポール方程式の種類は符号を除けば一つしかないが,拡張されたモノポールの場合には符号の違いを除いても3種類あるという点である。ふたつめは3種類あるうちのひとつは3次元モノポール方程式に対応するものであるが,漸近条件のもとでは解は零トポロジー不変量をもつことになり全く自明なものになってしまう点である。これは3次元のときの非自明解がたくさんあることとは全く様相が異なる現象である。今後の研究としては,接触形式に付随する交点形式理論の確立,接触形式が存在するための障害の研究があげられる。