弱ユークリッドアルゴリズムを持つ加群、極大整環についての研究

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ユークリッド環は、その上の加群と見ればユークリッドアルゴリズムを持った加群と考えられる。このことを一般化すれば、可換環R上の加群Mに対し、ユークリッドアルゴリズムを持ったユークリッド加群Mが定義できる。一方、ユークリッド環は単項イデアル環であり、その逆が成立しないことは良く知られている。しかし、ユークリッドアルゴリズムより弱い弱ユークリッドアルゴリズムを考えれば、ユークリッド環ではない単項イデアル環が弱ユークリッドアルゴリズムを持つこともある。本研究は、上の概念を結合させ、弱ユークリッドアルゴリズムを持つR-加群、すなわち、弱ユークリッド加群の構造の解明を目的としたものである。本研究で今のところ得られた結果は、Rがネーター環の場合にR-加群が弱ユークリッド加群になるための必要十分条件を非常に条件の強い弱ユークリッドアルゴリズムを持つ場合に解明できたことである。しかし、結果は成熟しておらず論文発表までには至らなかった。条件を弱めながら弱ユークリッド加群になるための必要十分条件を改良し、また、弱ユークリッド加群の理論を整備・発展差せることが今後の研究課題となる。本研究課題の研究実施計画にそって研究集会、シンポジウムに積極的に参加し、情報の交換を行なった結果、研究課題とは直接関係しないが、3人の研究分担者はそれぞれの研究についての結果を得、1993年春期日本数学会において講演することになったことを合わせて報告したい。