兀多様体のホモトピー類

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閉多様体がそれが属するカテゴリーにおいてある多様体の境界になり得るかどうかを決定することが同境理論の主たる目的である。ここでは枠付け可能な多様体を研究対象としている(この場合の同境群は球面の安定ホモトピー群である。)。特にコンパクト・リー群およびその巡回部分群による等質空間を対象として研究を行ない以下の結果を得た。Gをコンパクト・リー群、CをGの有限巡回部分群とし、MをGのCによる商空間とする。このとき、Cを含むGの円周群Sを1つ選び、GをSで割ってできる主バンドルに付随する標準的な1次元複素バンドルをγとすると、γのk重テンソル積の球面バンドルの同境類はMの同境類と等しいことが証明できた。(ここに、kはCの位数).従ってMの同境類に関する問題は、K群およびJ群を用いて調べることができることが分かった。例えば、Sを含む3次元球面群が在存するとき、GのSによる商空間の同境類が0となるというHirschの定理を用いて、k次特殊ユニタリー群を次数2の巡回群で割った空間の同境類は、元の空間の同境類のk倍であることが4の倍数でないkについて証明できる。また同様の事実がスピノール群についても示される。これらはAtiyah-Smithの結果の一般化である。k次特殊直交群を次数2の巡回群で割った空間の同境類は、それをSで割った同境類の倍数となる。このようにMの同境類は、円周群なよる商空間の同境類を用いて調べることができるが、後者について、更に詳しく調べていくことが、今後の課題である。