写像の周期点の分岐構造

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2次元円板上の、向きを保つ同相写像の周期点の位相的構造について調べ、結果をそれらの分岐問題に応用した。周期点の有限集合が与えられたとき、その位相不変量の一つとして組ひも型が定義される。本研究では、与えられた自然数n以下の周期をもつ周期点全体のなす集合P(n)について研究し、以下の結果を得た。1. P(n)の組ひも型を既約分解したとき、その成分の内で擬アノソフ型のものが存在するならば、P(n)の個数は常に2n+3個以上であることを証明した。更に、P(n)の各元が横断的であれば、その個数は3n+6個以上であることを示した。2. 次に、P(n)の個数が2n+2個以上である場合を考察した。上で示したことにより、その組ひも型は各既約成分がすべて周期的であるという単純なものであることが分かる。この事実を用いて、P(n)の組ひも型の取り得る可能なタイプを完全に決定した。また、P(n)の各元が横断的である場合にも同様の決定を行った。これにより、組ひも型の可能なタイプは、自明な組ひも型から、熊手型分岐、および周期倍分岐を繰り返して得られるものであることが示された。3. 2で得た結果をサドル・ノード分岐の問題に応用した。一対の周期点がサドル・ノード分岐によって生じるとき、その分岐は、位相的な無条件に起き得るものではなく、分岐直前の周期点集合に対する位相的配置は、ある特殊な条件を満たすものに制限されることを示した。この結果は、2次元散逸的常微分方程式系の周期解の分岐問題に適用できる。