確率測度の無限次元級数解析と距離解析

今年度の研究成果として筆頭に挙げられるのは、なんと言っても数年来の懸案であった準不変測度の作用群に関する連続性を、博士課程大学院生水町仁との共同研究で、非常に一般的な形で解決したことであろう。すなわちGを確率空間(X,B,μ)に作用する距離付け可能な局所コンパクト群、m_GをGの左不変ハール測定、μ_g(A)=μg^<-1>A),A∈B,g∈Gとする。このとき全変分ノルムの意味でlim_<g-e>||μ_g-μ||=0となるための必要十分条件がμ《μg^*μであることを証明した。μ_gのこのような連続性はエルゴード理論の研究では、よく必要になるものであり、これまで多くの研究があるが、それらのいずれもが(X,B,μ)になんらかの位相的または測定論的な仮定をおくものであった。それに対して今回得た結果は(X,B)が可測空間でありさえすればよく、ほぼ最終的な結果であると考えられる。早速応用としてループ群上のウィーナー測度の0-1法則を証明した。今後多くの応用が期待される。他方距離空間上で「徑比不等式」をみたす確率測度について大域密度定理を証明したのが[2]である。今後フラクタル解析などへの応用を目指している。代表者佐藤が創始した「確率移動の絶対連続性」の研究について、日ソ確率論シンポジウム(キエフ)での報告が[3]である。これについては今年度さらに新しい結果を得た。局所凸空間上のガウス測度についての台湾大学での講義録が[1]である。ガウス測度の性質を「カメロン・マルチン空間の準不変性とエルゴード性」の観点からまとめたのが特徴である。また、分担者たちもそれぞれ成果を得た。

今年度の研究成果として筆頭に挙げられるのは、なんと言っても数年来の懸案であった準不変測度の作用群に関する連続性を、博士課程大学院生水町仁との共同研究で、非常に一般的な形で解決したことであろう。すなわちGを確率空間(X,B,μ)に作用する距離付け可能な局所コンパクト群、m_GをGの左不変ハール測定、μ_g(A)=μg^<-1>A),A∈B,g∈Gとする。このとき全変分ノルムの意味でlim_<g-e>||μ_g-μ||=0となるための必要十分条件がμ《μg^*μであることを証明した。μ_gのこのような連続性はエルゴード理論の研究では、よく必要になるものであり、これまで多くの研究があるが、それらのいずれもが(X,B,μ)になんらかの位相的または測定論的な仮定をおくものであった。それに対して今回得た結果は(X,B)が可測空間でありさえすればよく、ほぼ最終的な結果であると考えられる。早速応用としてループ群上のウィーナー測度の0-1法則を証明した。今後多くの応用が期待される。他方距離空間上で「徑比不等式」をみたす確率測度について大域密度定理を証明したのが[2]である。今後フラクタル解析などへの応用を目指している。代表者佐藤が創始した「確率移動の絶対連続性」の研究について、日ソ確率論シンポジウム(キエフ)での報告が[3]である。これについては今年度さらに新しい結果を得た。局所凸空間上のガウス測度についての台湾大学での講義録が[1]である。ガウス測度の性質を「カメロン・マルチン空間の準不変性とエルゴード性」の観点からまとめたのが特徴である。また、分担者たちもそれぞれ成果を得た。