量子群の表現に現われる函数方程式

本年度当初の研究目的として掲げた課題のそれぞれについて、比較的満足すベき成果を挙げることが出来た。具体的には次の通りである。(1)vertex operatorのボゾン表示とその相関関数 量子群sl(2)のレベル1の表現はボゾン表示が知られていた。それに基づいてvertex operatorのボゾン表示を得た。これよりvertex operatorの積の真空期待値の積分表示が従う。その後一般のレベルの場合には松尾、白石らにより脇本表現のボゾン表示が得られている。(2)可解格子模型の相関関数 代表者を含むグループの先の研究により、格子模型のスピン相関関数はvertex operatorの積のトレースとして定式化された。とくにそれらが差分方程式系(レベル0のqKZ方程式系)を満たすことが分かる。(1)の結果の応用として、最と基本的な格子模型6vertex modelについて、積分表示を得ることができた。この積分表示と差分方程式は、これまで知られていた唯一の結果(1点関数)を正しく再現し、一挙に全く一般の場合へ拡張するものである。(3)他の型の模型への拡張 上に述ベた結果は量子群に基づいて構成される、いわゆる頂点型の相互作用をもつ格子模型に関するものである。面相互作用型のRSOS模型についてもほぼ平行した理論が定式化できることも分かった。更に、vertex operatorを格子模型の言葉に解釈することにより、量子群の構造が不明である模型(8vertex model,柏原・三輪模型など)に対しても相関関数の満たすベき差分方程式を定式化することが出来た。これらは量子群の楕円型の拡張に関係するものと期待されており、そのような代数と対応するvertex operatorを構成することが今後の課題である。

本年度当初の研究目的として掲げた課題のそれぞれについて、比較的満足すベき成果を挙げることが出来た。具体的には次の通りである。(1)vertex operatorのボゾン表示とその相関関数 量子群sl(2)のレベル1の表現はボゾン表示が知られていた。それに基づいてvertex operatorのボゾン表示を得た。これよりvertex operatorの積の真空期待値の積分表示が従う。その後一般のレベルの場合には松尾、白石らにより脇本表現のボゾン表示が得られている。(2)可解格子模型の相関関数 代表者を含むグループの先の研究により、格子模型のスピン相関関数はvertex operatorの積のトレースとして定式化された。とくにそれらが差分方程式系(レベル0のqKZ方程式系)を満たすことが分かる。(1)の結果の応用として、最と基本的な格子模型6vertex modelについて、積分表示を得ることができた。この積分表示と差分方程式は、これまで知られていた唯一の結果(1点関数)を正しく再現し、一挙に全く一般の場合へ拡張するものである。(3)他の型の模型への拡張 上に述ベた結果は量子群に基づいて構成される、いわゆる頂点型の相互作用をもつ格子模型に関するものである。面相互作用型のRSOS模型についてもほぼ平行した理論が定式化できることも分かった。更に、vertex operatorを格子模型の言葉に解釈することにより、量子群の構造が不明である模型(8vertex model,柏原・三輪模型など)に対しても相関関数の満たすベき差分方程式を定式化することが出来た。これらは量子群の楕円型の拡張に関係するものと期待されており、そのような代数と対応するvertex operatorを構成することが今後の課題である。