量子可積分格子模型の相関関数

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本研究課題の目的は、一次元XXZスピン鎖に代表される、可積分な格子模型における相関関数、とりわけその長距離挙動の解析にある。相関関数のうち数学的構造が最も簡単なものに、空隙形成確率(EFP)と呼ばれる量がある。昨年度から今年度にかけての主要な成果は、XXZ鎖の相互作用定数Δの一般の値に対してEFPの漸近挙動を決定したことである。方法は、前年度までの研究で得られた新しい積分表示に停留位相法を適用したものであるが、被積分関数に現れる複雑な行列式部分の評価がキーポイントである。また停留点を記述する根の密度関数が、ベーテ仮設法におけるLieb方程式に類似した積分方程式で記述され、それがFourier変換により具体的に解けるという著しい事実が観察された。massless regime|Δ|<1においては、予想されていたようにm→∞においてEFPがe^<-m^2>で減衰することを示し、その係数を2重ガンマ関数に関係する積分によって閉じた形に求めた。本年度はこの研究を整備して発表するとともに、同様の結果をmassive regime Δ>1に対しても拡張した。スピン-スピン相関関数の解析は、EFPに比べて本質的により困難であるが、これについて研究を継続し、若干の進展を見た。特に、相関関数に対して、以上に述べたものとはさらに別の、非常にコンパクトなmaster formulaというべき新しい多重積分公式を得ることができた(未発表)。この表示は「多重積分の多重和」の代わりに多重積分だけを用いており、有限格子に対しても成り立つ。また近距離で有効な従来の積分表示を回復することができ、さらに展開の仕方を変えることによって形状因子による展開をも原理的に含んでいる。今後の相関関数の研究に新たな視点を提供するものと期待している。