代数多様体のHodge理論

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臼井は2次特殊線形群の水平表現について研究をした。重さWの偏極Hodge構造の分類空間Dは付隨するHodge群Gの作用で均質空間となる。GとしてG〓=SL(2,R)、Dとして上半平面gをとった場合が、このようなもののうち最も簡単なものである。一般なG,Dに対して、表現P:G_1→GがDの点rで水平であるとは、Lie環の準同型写像p*:g_1→gが、それぞれi←g,rからg_1,gの複素化上に引き起されたHodge構造に関して、(O,O)型の射となっていることと定義する。g_1中の対角行列で成分が1,-1のものをyとし、Y=P*y←gとすると、上の対(p,r)は対(Y,r)で一意的に決まる。では、gの半単純元とDの点の対(Y,r)全体のなす集合中で、上のようにrで水平なG_1の表現pから引き起されるものはどのようなものであるか。これに対する数値的な特微付けを与えたのが今回の主要結果である。これを使い、数論的群ΓによるDの商Γ＼Dに1助変数のII型退化に対応する点全体を付け加えた集合に上にHausdorff位相を入れた部分コンパクト化を構成した。なお以上は、重さW=2の場合にCattaniとKaplanの仕事の一般化になっている。伊吹山は斎藤裕(京大)と共同して、有理数体上にn次対称行列全体のなす概均ベクトル空間に付隨したゼーター関数について研究した。このゼーター関数をshiftedRiemannゼーター関数を使って表わし、非正整数における特殊値をBernoulli数で記述した。また次数n、レベルNの主合同群Γn(N)に属するSiegel尖点形式Sk(Γn(N))の次元に対する中心的巾単元の寄与を記述し、次元公式の予想を与えた。これまでn<3の場合にこの次元公式は知られていた。平峰は新しい3p次の平面関数を発見した。宇野はA型か階数2のCoxeter系(W,S)の場合に、付隨する特殊Hecke環H_2の(W)の表現型が有限であるための条件を「αが(W,S)のPoincare多項式の単純根になっている」という形で与えた。