ランダム系におけるゆらぎの理論

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我々の研究計画は、巨視的な多体系に対して「ゆらぎ」の理論を構築することであった。当初の目標であったランダム系については、今のところ公表に値する結果は得ていない。[高麗、田崎は、ランダムなフラクタル格子上のスピン系や電子系の相関関数についての厳密な定理(末公表)を得ている。]しかし、「ゆらぎ」の巨視的性質の研究として極めて重要な「量子ゆらぎ」の効果に関わる以下の3つの重要な研究成果を得た。1.量子反強磁性ハイゼンベルグ模型における自発的対称性の破れ(高麗、田崎):Dyson,Lieb,Simonは、3次元以上の反強磁性ハイゼンベルグ模型は、十分低温で長距離秩序を持つことを厳密に証明した。しかし、現実の系の実験において反強磁性的な秩序の尺度となるのは、いわゆるネール自発磁化である。我々は、量子多体系における巨視的な物理量の「ゆらぎ」の性質を用いて、長距離秩序が存在すれば、ネール自発磁化が有限の値をとることを厳密に証明した。2.量子系における低エネルギー励起状態(高麗、田崎):量子多体系における長距離秩序の「ゆらぎ」の性質を考察した結果、我々は量子多体系についての極めて一般的な定理を得ることができた。ハミルトニアンの秩序パラメターが非可換であるような量子系が、長距離秩序を示すとする。我々は、対応する有限の大きさの系には、必ず低エネルギーの励起状態が存在することを証明した。特に、系が連続的な対称性を持つ場合、低エネルギー励起状態の個数は系の大きさと共に限りなく増加する。3.ハバード模型における強磁性(田崎):ある種のハバード模型は絶対零度で強磁性を示すという厳密な結果を得た。