極小曲面のヤコビ場について

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N次元単位球面S^N(1)のfullにimmersedされていない,minimal surfaceに対しては,M上のnormal bundleの中のtrivialなnormal subbundleがあるが,そのsectionとしてのJacobi fieldはM上のLaplacian△のeigen value2をもつeigen functionsとなっている。このJacobifielbがS^N(1)のkilling vector fieldから導かれないときは、extra eigen functionを引き起こす。一般にJacobi fieldはminimal surfaceのminimal surfaceのままの変形のintinitesimal deformationを与えている。しかし一般には実際の変形を与えてはいない。我々はS^N(1)のsuperminimal surfaceに対してextra eigen functionが与えられたときそれが実際のminimal surfaceとしての変形を与えるための必要十分条件を与えることができた。genusの場合は無条件で成立することがわかった。これはsuperminimal surfaceのtwistor理論とかかわってD^3のmeromorphic null curveについてのDarbouxの定理をD^<2n+1>のmeromorphic null curveへ拡張し,このmeromorphic null curveをsuperminimal surfaceのdirectrix curveとの一対一対応させS^N(1)のtwistor空間に働くMorse-Bott関数のgradient flonによるhorigontal holomorphic curveの変形を考えることによって得られたものである。さらにこの変形の応用としてsuperminimal surfaceの△について2より小さいeigenvalueの重複度もこめた数の評価をgenusとareaを使って上と下から与えることができた。