極小曲面のヤコビ場について

点击翻译按钮获取中文摘要

2m次元単位球面S^<2m>(1)のgenus Oのfull minimal surfaceを考える。その構成方法はE.Calabiによって開発された。2m次元複素射影空間CP^<2m>のdirectrix curreを構成しdirectrix curveはtotally isotropicという性質をもつことから、totally isotroprc holomorphic curve of genus O in CP^<2m>をdirectrix curreとするgenus Oのminimal surfaceを構成する方法である。このようなminimal surfaceのラプラシアンの固有値とくに固有値2をもつ固有関数を調べた。高橋の結果よりmulti plicityは2m+1以上であるが2m+2以上のときの現象に興味をもちその場合現れる固有関数をextra eigenfanctionと呼んでいる。fallなminimal surtaceがminimalのまま変形してfullでないminimal surfaceに変形されたときにextra eigenfanctionが現れることはspectrumの連続性からわかるのであるが逆にextoa eigenfanctionがあるときに、上のような現象から生じているのかどうか大変興味ある問題である。それはgenus Oのminimal surfaceのつくる空間の構造に深い関係をもつことになるからである。我々はこの問題に対し肯定的な解答を与えた。その方法はXoをS^2からS^<2m-2>(1)へのextoa eigenfanctionをもつfull branched minimal immersionとする。そのときS^2からC^<2m-1>へのflat endをもつfull meromorphic null mapをつくる。これはS^2からCP^<2m>へのfull totally isotropic holomorphic mapΦを与え、そのm-th associatel map ΦmはS^<2m>(1)のtwistor space Hmへのfull horizontal holomorphic null mapを与えている。これはS^<2m>(1)へのfull branched minimal immersionをつくる。Morse-Bott functionのgradient flowを使いXoへ変形していって結果を得る。現在まとめている最中である。